Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Willkommen zur 14. Vorlesung. Heute werden wir uns mit Symmetrien beschäftigen und ganz speziell

mit Rotationssymmetrie, weil die eine wichtige Rolle in vielen physikalischen Problemen spielt.

Diese Rotationssymmetrie wird gegeben sein durch die sogenannte Drehimpuls-Algebra.

In der heutigen Vorlesung lassen wir uns von den folgenden beiden Leitfragen führen.

Die erste Leitfrage lautet, was ist das Energiespektrum des Hamilton-Operators?

Was ist das Energiespektrum eines Teilchens in einem Zentralpotenzial?

Dabei verstehen wir unter einem Zentralpotenzial eben eines, das nur vom Abstand von einem Zentrum

abhängt, aber nicht von dem Winkel, den es da nimmt. Das ist eine physikalische Situation,

die Sie aus der klassischen Mechanik kennen, zum Beispiel vom Zweikörperproblem in der klassischen

Mechanik. Sie haben zwei Teilchen, die in der klassischen Mechanik durch die Gravitationskraft

beispielsweise zusammengebunden werden. Da wissen Sie, da haben Sie elliptische Orbits und ein

parabolisches und viele hyperbolische, nicht mehr Orbits, sondern eben Bahnenkurven. Sie reduzieren

dieses Zweikörperproblem auch in der klassischen Mechanik ziemlich schnell am Anfang auf ein

Einkörperproblem in einem Zentralpotenzial. Und genau das Gleiche können Sie in der

Quantenmechanik machen, aber da interessiert uns weniger die Gravitation, das haben wir nämlich

nicht im Griff quantenmechanisch, sondern da interessiert uns zum Beispiel die elektromagnetische

Wechselwirkung oder anders gesagt ein Teilchen in einem Coulomb-Potenzial. Und das prototypische

Beispiel ist natürlich ein Wasserstoffatom mit einem schweren Kern und einem leichten Elektron,

das um diesen Kern, naja, klassisch würde man sagen, kreist oder wie auch immer, aber wir wissen,

das ist nicht das quantenmechanische Bild. Es gibt gar keine Bahnenkurven, aber wir können

natürlich den Hamilton-Operator für ein solches Teilchen hinschreiben. Wir können

darüber spekulieren, wir können über das Äquivalenzprinzip diesen Operator hinschreiben

und darin wird ein Zentralpotenzial vorkommen. Und es ist durchaus eine interessante Frage,

was die möglichen Energieniveaus im Wasserstoffatom sein werden. Die werden wir nämlich sehen, wenn

ein, wenn das Elektron von einem Energie einen Zustand übergeht, von einer höheren Energie in

einem Zustand niedriger Energie, denn die Energie muss irgendwo hin und die wird dann in Form eines

Photons, eines Lichtteilchens emittiert und dann kriegen sie die schönen Farben, die sie bekommen

bei der Emission von Photonen bei Wasserstoffatomübergängen von einem Zustand höherer

Energie in einen Zustand niedriger Energie und sie bekommen da aber ein Linienspektrum, das ist kein

kontinuierliches Spektrum, denn das Wasserstoffatom, so wird es sich herausstellen, hat für seine

gebundenen Zustände ein diskretes Spektrum und das wollen wir irgendwann in dieser Vorlesung,

in dieser Vorlesungsreihe noch ausrechnen. Heute bereiten wir das vor. Also was ist das

Energiespektrum eines Teilchens, einem Zentralpotenzial, da ist noch nicht speziell die Rede vom

Coulomb-Potenzial, also von einem 1 durch R-Potenzial, sondern zunächst mal jedes Zentralpotenzial. Aber

wie ich gerade argumentiert habe, die zentrale Anwendung wird natürlich sein das Wasserstoffatom.

Das interessiert uns natürlich, also wenn die Quantenmechanik das nicht rechnen kann,

dann ist sie wenig wert. Die zweite Leitfrage, die jetzt zunächst mal ein bisschen mysteriös

bleibt, aber ich halte es dennoch für sinnvoll darauf hinzuweisen, ist die Frage, was ist eigentlich

Spin? Was ist Spin? Und es wird sich herausstellen, es gibt Spins, verschiedene Spins und das ist eine

Teilcheneigenschaft und diese verschiedenen Spins, die heißen Spin 0, Spin 1, Spin 3,5 und so weiter,

kurz gesagt, die heißen Spin N mit 0,5. Das sind also ganz, halb ganzzahlige Spins und tatsächlich

werden wir heute auch schon den Spin kennenlernen. Wir werden heute kennenlernen, wo diese Zahlen

hier herkommen. Dann wissen Sie zwar immer noch nicht so richtig physikalisch, was das ist, aber

ich weise schon mal darauf hin, in dieser Behandlung der Frage von Rotationssymmetrie werden wir so ganz

nebenbei auch entdecken, was Spin ist. Zumindest mal den ersten Eindruck von diesem Spin werden wir

sehen. Das sind also mehr oder weniger die Fragen, die uns im Kopf sind. Das ist jetzt kein wirklich

logischer Ausgangspunkt, von dem ich jetzt sagen würde, hiervon entwickle ich jetzt irgendwas,

aber das könnten wir im Kopf behalten. Okay, wir beginnen etwas konkreter mit Symmetrien in der

Quantenmechanik. Nun braucht man, Sie wissen, was eine Symmetrie in der klassischen Physik ist